2月14日は待ちに待ったバレンタインの日ですね！皆さん、誰かにチョコをあげる/もらう予定はありますか？僕は自分のために買いますけどね！
そんなわけで、今日は、数学とともに届ける愛の言葉を紹介したいと思います。神秘的な数学の世界で愛を伝えるなんて、ロマンチックだと思いませんか？あなたの大切な人に、数学で思いを伝えてみてください。僕は伝える相手がいませんけどね！
この記事では、男性が女性に伝えるための言葉を紹介しますが、言葉遣いを変えれば誰でも使えるようになると思います！数学に詳しくない人でも楽しめるように分かりやすく説明したつもりですので、ぜひ最後まで読んでみてください。
1. 「君は僕の補集合なのさ。」
You are my complement.
補集合というのは、いい感じのたとえで言うと「パズルを完成させるための残りのピース」のことです。2人あわせて初めて完全になる、という意味の素敵な言葉です。ベタですけど、やっぱりこのようなシンプルでストレートに刺さる言葉がかっこいいですよね～！
同値な命題（同じ意味の言葉）
「君は\(\overline{僕}\)なのさ。」
「君は僕の論理否定なのさ。」
「君は全体集合と僕の差集合なのさ。」
「君は\(\{x | x \notin 僕\}\)なのさ。」
2. 「僕たちの愛は1次元だ。なぜなら、三角関係が存在しえないから。」
Our love is one-dimensional, because there can't be a love triangle.
1次元空間とは、一つの方向にのみ広がりを持つ空間、つまり直線のことです。直線上に存在しうる図形は、点と線のみです。三角形のような、面積を持った図形が存在する余地はありません。第三者の介入を許さないあなたたちだけの世界で、いつまでもお幸せに…。
同値な命題
「僕たちの愛はユークリッド空間\(\mathbb{R}\)だ。」
3. 「複素平面の中心で、\(i\)を叫ぼう。」
Let's call for love at the center of the complex plane.
複素平面の中心は0であることはさておき、「世界の中心で、愛を叫ぶ」的な感動的なセリフです！
小学生の時に、数直線というものを習ったと思います。あらゆる数字は、数直線上の点として表せるのでしたね。ところで、数直線の外側には何があるのか、疑問に思ったことはありませんか？（思ったら天才）
数直線の外側には、「複素数」という世界が広がっています。実数が直線状の点なら、複素数は平面上の点です。複素数は、2乗して-1になる不思議な数\(i\)を用いて書き表されます。
複素平面の中心は0なのですが、\(i\)で愛を伝えれば、誰しもがあなたの虜になるはずです！
同値な命題
「ガウス平面の中心で、\(i\)を叫ぼう。」（ガウス平面の中心は0です。）
「リーマン球面の南極で、\(i\)を叫ぼう。」（リーマン球面の南極は0です。）
4. 「君が素数なら、僕は君2乗。僕は1と、僕自身と、君でしか割り切れない数なんだ。」
If you were a prime number, I'd be you squared. I'm divisible by 1, me myself, and you only.
素数というのは、1とそれ自身でしか割り切れない数のことというのはわかると思います。そして素数pの2乗は、1と、それ自身と、pでしか割り切ることができません。3と9、5と25、10007と100140049のような関係ですね。
運命的な出会いを表すロマンチックな言葉です。今までずっと生きてきて、1人も自分を割り切る人を見つけることはできなかったけど、やっと君を見つけたよ…という。お相手があなたの運命の人であるということを、論理的に証明できています！しかし残念なことに、あなたはお相手を割り切ることはできません！
同値な命題
「僕を素因数分解すると、君が2人あらわれる。そして君しか現れない。」
「僕は試し割り法で、素数判定をしてみたんだ。僕もまた、悲しい素数の一人なのかなって。ずっと素因数が見つからなくて、諦めかけてたんだけど、ループの最後の最後でやっと僕の素因数を見つけたんだ。それが君だった。」
5. 「君は、\(e^{i\pi}+1=0\)の次に美しい。」
You are the second most beautiful one, after \(e^{i\pi}+1=0\)
「より美しい」ではなく、「次に美しい」ということに注意してください。\(e^{i\pi}+1=0\)が世界一美しいことは変えようのない事実なので、嘘を言うとお相手も怒るでしょう。それでも、オイラーの多面体定理\(v-e+f=2\)より美しいのですから、十分すぎるほど美しいです！
ちなみになんで\(e^{i\pi}+1=0\)が美しいのかというと、5つの最も重要な数学定数である、加法の単位元0、乗法の単位元1、自然対数の底\(e\)、虚数単位\(i\)、そして円周率\(\pi\)が一つのシンプルな等式で結ばれているからなのです！さすがにこれより美しい人なんて存在するわけがないですよね！？ね！？リチャード・ファインマン大先生だってこれが「我々の至宝」とおっしゃったんですよ！？
同値な命題
男：「オイラーの公式って知ってる？」
女：「うん知ってる。\(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\)でしょ？」
男：「その通り。じゃあ\(\theta\)に\(\pi\)を代入して、すべての項を左辺に集めてごらん。」
女：「\(e^{i\pi}+1=0\)。わあ、きれい…。」
男：「君はその次にきれいだよ。」
女：「○○くん…♡」
6. 「君とのラブストーリーの続きを書くには、余白が狭すぎる。」
The margin is too narrow for the sequel of our love story to fit in.
これはピエール・ド・フェルマー大先生が、フェルマーの最終定理の発見に際して放たれた名言「私は真に驚くべき証明を見つけたが、この余白はそれを書くには狭すぎる」から来ています。
余白がないなら裏紙でも持ってきてそれにかけ！と思うのはさておき、フェルマーの最終定理は、「すべての自然数\(n \ge 3\)に対して、\(x^n+y^n=z^n\)を満たす自然数の組\((x,y,z)\)は存在しない」という定理です。主張自体は極めてシンプルで、その意味は中学生でも理解できるものですが、実は数学史上最大の難問の一つです。フェルマーの最終定理はこの記述の後、オイラーをはじめとする世界の名だたる数学者たちが証明を試みましたが、誰も成功することはありませんでした。フェルマーの死後360年たった1995年に、イギリスの数学者アンドリュー・ワイルズによってついに画期的な証明がもたらされ、その長い歴史に幕を閉じました。
この言葉を送れば、あなたたちのラブストーリーもきっと360年間終わることはないでしょう！末永くお幸せに！
7. 「僕らの愛の大きさは、非可算集合の濃度に等しいんだ。」
The size of our love is equal to the cardinality of an uncountable set.
一口に「無限」といっても、いろいろな「無限」があります。一つは、自然数の個数。自然数の個数は、1、2、3、…と数えることができる（数え終わるとは言ってない）ので、自然数は「可算集合」と呼ばれ、自然数の「個数」（正確には、濃度という）は\(\aleph_0\)（アレフ・ゼロ）といいます。
それでは、整数ならばどうでしょう？整数ならば、1、2、3、…といった自然数に加えて、0、-1、-2、…といった0や負の数も含まれるので、自然数よりもたくさんあるように思えます。しかし、整数の個数もまた、\(\aleph_0\)となることがわかっています。なぜならば、整数も工夫することで「数える」ことができるからです。数えることのできるものの個数は、すべて\(\aleph_0\)なのです。
有理数（分数で表すことのできる数。0.1とか、0.11とか、0.333...とか）は数えられないように思えますが、なんとこれもうまく工夫することで数えることができます。では、あらゆる数の個数は、\(\aleph_0\)なのでしょうか？
そうではありません。実数（あらゆる「普通の」数。有理数に加えて、\(\sqrt{2}\)(=1.41421356...)のような分数で表すことのできない数）の個数は、\(\aleph_0\)より多いことがわかっています。つまり、実数は数えることができないということです。実数は数えることができないので、「非可算集合」なのです。
（どうしてそうなるか気になる人は、「カントールの対角線論法」で調べてみてください）
「愛の大きさは無限大」みたいな言葉は面白くありません。真の理系なら、ただの無限ではなく、数えきれないどころか、数えることすらできない無限で、あなたたちの愛の強さを示しましょう！
同値な命題
「僕らの愛の大きさは、\(|\mathbb{R}|\)なんだ。」
「僕らの愛の大きさは、\(\aleph\)なんだ。」
「僕らの愛の大きさは、連続体濃度に等しいんだ。」
「僕らの愛には、自然数の集合からの単射は存在するが、全射は存在しないんだ。」
「無限」という言葉にアレルギーを感じる人は、巨大な有限数を用いてもいいでしょう。少なくとも、「愛は無限大」とかというよりは、ずっと知的に聞こえます。数字の小さい方から例を挙げると、
「僕たちの愛は、ジンバブエドルのインフレ率\(6.5\times10^{108}\)より大きいのさ。」
「僕たちの愛は、グーゴルプレックス\(10^{10^{100}}\)より大きいのさ。」
「僕たちの愛は、第2スキューズ数\(e^{e^{e^{e^{7.705}}}}\)より大きいのさ。」
「僕たちの愛は、トリトリより大きいのさ。」
（注）トリトリとは
関数\(G(n)\)を\(G(n)=3 \uparrow^n 3=3 \rightarrow 3 \rightarrow n\)と定義すると、トリトリとは、
\[
G(3) = 3 \uparrow\uparrow\uparrow 3 = 3\rightarrow3\rightarrow3 = 3↑↑7625597484987
= \underbrace{3^{3^{3^{ \cdot ^{ \cdot^ { \cdot^ { \cdot^ { \cdot^ { \cdot^ {\cdot^ { \cdot^ { \cdot^ { \cdot^ { 3^{ 3^ 3}}}}}}}}}}}}}}}_{7625597484987}
\]
かわいい名前とは裏腹に、見た目はえぐいですね！
「僕たちの愛は、グラハム数\(G^{64}(4)\)より大きいのさ。」
グラハム数は、数学の証明で使われたことのある最大の数としてギネス世界記録に認定されているので、最強です！
8. 「僕たちの愛はNP困難問題だ。」
The problem of our love is NP-hard.
NP困難な問題とは、クラスNPに属する任意の問題と同等かそれ以上に難しい問題のことです。意味が分からないと思うので、できるだけわかりやすく説明していこうと思います。
数学の問題というのはその解き方によっていろいろ分類されていて、その中にPとNPというものがあります。こんな適当なことを言うと数学者に怒られるかもしれないけど、超簡単に言うと、P問題というのは、効率的に解くことのできる問題で、一方NP問題は、「めんどくさい」問題のことです。
（数学がわかる人向けにもうちょっと正確に言うと、P問題とは、多項式時間で解くことのできる問題で、NP問題は解の一つが与えられたときにその解が正しいことを多項式時間で示すことのできる問題です。なのでP問題はNP問題でもあります。）
NP困難な問題とは、どんなめんどくさいNP問題よりもめんどくさい問題のことです。つまり効率的に解くことができない、とても難しい問題のことです。効率的に解くことができないというのは、スーパーコンピューター京を1京個、1京年走らせても解けないというレベルの難しさです（適当）。
つまり、あなたたちの愛は不可思議な未知の世界で、誰もその解を知ることはできないということですね！ロマンチック～！
9. 「君は僕の不完全性定理。君無しでは僕を証明も反証もすることができない。」
You are my incompleteness theorem. Without you, I'm unprovable.
もはや意味が分かりませんね！ゲーデルの不完全性定理「自然数論を含む帰納的公理化可能な理論が、ω無矛盾であれば、証明も反証もできない命題が存在する。」を使ったつもりなんでしょうけど、なんか意味をはき違えてる気がしますね！てかゲーデルの不完全性定理が難解過ぎて僕には理解も説明できませんね！なんか「数学に矛盾がないことを数学を用いて証明することはできない」みたいな意味らしいですけどよく分からないですね！ω無矛盾てなんですかね！でもなんかかっこいいですね！こんなこと言われたらときめきますね！
10. 「二端子フローネットワーク\(Ν (G(V, E), c, s, t)\)が与えられたとき、最大フローの残余ネットワークは、\(s\)から到達可能なノード群\(S\)と到達不可能なノード群\(T\)に分けることができる。残余ネットワーク上では\(S\)から\(T\)へのエッジは存在しないから、もとのネットワークにおいて、\(S\)から出るエッジ\((u, v)\)はすべて、\(f(u,v)=c(u,v)\)となっており、また、\(S\)に入るエッジは流量が0である。よって、\(|f_{\mathrm {max} }|=c(S,T)\geq c((S,T)_{\mathrm {min} })\)である。また、任意のフロー\(f\)に対して、\(T\)へ流れこむエッジ\((u, v)\)の流量は最大で\(c(u, v)\)であり、これの和は\((S, T)\)のカットの容量である。一方、\(T\)から\(S\)へ逆流するエッジの流量の最小値は0以上である。フローの流量は\(T\)に流入する流量から逆流する流量を引いたものであるから、\(f\)の流量は最大でカット\((S, T)\)の容量となる。よって、\(c((S,T)_{\mathrm {min} })\geq |f_{\mathrm {max} }|\)である。以上より、\(|f_{\mathrm {max} }|=c((S,T)_{\mathrm {min} })\)である。よって僕は君を愛している。」
Blah blah blah. Therefore I love you.
これは、最近知った「最大フロー最小カット定理」の証明です。Wikipediaの記事を参考に書きました。意味わからないですね！僕もよくわかりません！（でもこの記事書いてちょっと分かった気がする。）しかしこんなことを言って愛を伝えれば、きちんと愛が証明できているように聞こえます！「○○くん、その証明よくわからないけど、とにかくあなたは私を愛しているのね…。」となります。なりません。この手法のコツは、できるだけお相手が理解できなさそうな証明を利用することですね。例えば「1+1=2である。よって僕は君を愛している」みたいなことを言うと「ふざけてるの？」となりますが、このような意味の分からない証明ならばきっと大丈夫です！
バリエーション
相手が高校生以下または文系大学生および社会人
たぶんこの「最大フロー最小カット定理」で十分です。
相手が理系大学生および社会人
相手が理系なら、この定理の証明を理解してしまう恐れがあるので、フェルマーの最終定理の証明でとどめを刺しましょう。
相手が数学者または理論物理学者
彼らはフェルマーの最終定理の証明ですら理解してしまう恐れがあるので、ここは望月新一教授の宇宙際タイヒミュラー理論（IUT）の論文を用いて攻めましょう。理解している人は世界に数人しかいないようです。まあ600ページもある論文なので音読の途中に相手が飽きて帰らないように注意してください。
相手がIUTの理解者の一人
諦めましょう。
まとめ
いかがでしたか？バレンタインの日にふさわしい、数学で愛を伝える言葉を10個紹介しました。なんでこんな思いつくの？と思うかもしれませんが、彼女がいないとこれくらいしか考えることがないのです！僕なんかは、「あなたは私の秘密鍵。誰も私たちの秘密を知ることができない」なんて言われたら、一瞬で恋に落ちちゃいますね！でも量子コンピューターならRSA暗号が効率的に破れるのでだめなんですけどね！
